Кирилич В. М.

Приведены достаточные условия разрешимости задачи без начальных условий для счетной гиперболической системы полулинейных уравнений первого порядка. Получены условия классической разрешимости смешанной задачи для счетной гиперболической системы полулинейных уравнений первого порядка в полуполосе.

Установлены необходимые условия для задачи оптимального управления полулинейной гиперболической системой. Сопряженная задача к исходной является полулинейной гиперболической задачей без начальных условий. Предложенный подход основан на использовании специальной вариации непрерывно дифференцированного управления. Доказано существование глобального решения смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы в неограниченной по времени полосе. При доказательстве соответствующих теорем использован принцип сжимающих отображений и метрики с весовыми функциями.

С помощью метода сжимающих отображений доказаны существование и единственность при малых значениях времени обобщенного липшицевого решения смешанной задачи с неизвестными границами для записанной в инвариантах Римана гиперболической квазилинейной системы уравнений первого порядка с нелокальными (неразделенными и интегральными) граничными условиями.

Досліджується питання існування періодичних розв'язків задачі про коливання мембрани з тертям та імпульсною зворотною дією у випадку, коли моменти імпульсної дії визначаються розв'язком системи.

С помощью методов характеристик и сжимающих отображений установлена локальная классическая разрешимость задачи с движущимися границами с нелинейными граничными условиями для гиперболической системы квазилинейных уравнений первого порядка. При выполнении дополнительных предположений о монотонности, знакопостоянстве исходных данных, а также ограничении на рост правых частей системы изложены достаточные условия глобальной классической разрешимости задачи.

Розглядається задача з невідомими границями для иапівліиійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку у випадку виродження в точку лінії задання початкових умов, задаються інтегральні граничні умови. Доводиться теорема існування та єдиності класичного розв'язку задачі для малих t.

Доказана теорема о существовании и единственности решения задачи с неизвестными границами для гиперболической системы первого порядка с двумя независимыми переменными. Граничные условия и условия на неизвестные границы задаются в нелокальном виде.

Установлено корректную разрешимость задач с интегральными ограничениями для гиперболических уравнений произвольного порядка и систем первого порядка в криволинейном секторе, в который попадают характеристики системы или уравнения, выходящие из его вершины.