Вакарчук С. Б.
Об оценках значений поперечников классов функций, определенных с помощью обобщенных модулей непрерывности и мажорант, в весовом пространстве $L_{2x} (0,1)$
↓ Абстракт
Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 2. - С. 179-189
Для класiв функцiй $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, де $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ а $\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ i $\Psi$ — вiдповiдно узагальнений модуль неперервностi $m$-го порядку та мажоранта, отримано оцiнки зверху i знизу колмогоровського, лiнiйного, бернштейнiвського, гельфандiвського, проекцiйного поперечникiв та поперечника Фур’є у просторi $L_{2,x}(0, 1)$. Також знайдено оцiнки зверху та знизу верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя на цих класах. Вказано умови для ма- жорант, при виконаннi яких обчислюються точнi значення зазначених поперечникiв та верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя.
Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. II
Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 10. - С. 1345-1373
У просторi $L_2(R)$ на класах функцiй $L^{\alpha}_2 (R)$, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона для характеристики гладкостi $\Lambda^w$, а також обчислено точнi значення середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою узагальнених характеристик гладкостi $\omega^w$ та $\Lambda^w$.
Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. I
Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 9. - С. 1166-1191
Розглянуто узагальненi характеристики гладкостi функцiй $\omega^w(f, t)$ i $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ у просторi $L_2(R)$ i на класах $L^{\alpha}_2 (R)$, визначених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty)$, знайдено точнi нерiвностi типу Джексона для $\omega^w(f)$.
О модулях непрерывности и производных дробного порядка в задачах наилучшей среднеквадратической аппроксимации целыми функциями экспоненциального типа на всей вещественной оси
Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 5. - С. 599-623
На класах функцiй, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона з модулем неперервностi дробового порядку $\beta \in (0,\infty )$ у випадку найкращої апроксимацiї цiлими функцiями експоненцiального типу у просторi $L_2(R)$. Зокрема, доведено спiввiдношення $$2^{- \beta /2}\sigma^{- \alpha} (1 - \cos t)^{- \beta /2} \leq \sup \{ \scr {A}_\sigma (f) / \omega_{\beta }(\scr{D}^{\alpha} f, t/\sigma ) : f \in L^{\alpha}_2 (R)\} \leq \sigma^{-\alpha} (1/t^2 + 1/2)^{\beta /2},$$ де $\beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ).$ Також обчислено точнi значення низки середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою дробового модуля неперервностi та мажоранти, яка задовольняє певнi умови.
О полных модулях непрерывности $2\pi$-периодических функций двух переменных в пространстве $L_{2,2}$
Вакарчук М. Б., Вакарчук С. Б.
Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 3. - С. 300-310
Наведено опис повних модулiв неперервностi $2\pi$ -перiодичних функцiй двох змiнних у просторi $L_{2,2}$, який можна розглядати як поширення вiдомих результатiв О. В. Бєсова, С. Б. Стєчкiна, В. А. Юдiна про модулi неперервностi в $L_{2}$ на двовимiрний випадок.
Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. II
Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 8. - С. 1021-1036
У просторi $L_2$ обчислено точнi значення деяких $n$-поперечникiв класiв функцiй, у яких узагальненi модулi неперервностi $(\psi , \beta )$-похiдних або їх осереднення з вагою не перевищують значень мажорант $\Phi$, що задовольняють низку умов. Також розглянуто конкретнi приклади реалiзацiї отриманих результатiв.
Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. I
Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 6. - С. 723-745
На класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi мають уведенi О. I. Степанцем $(\psi , \beta)$-похiднi, у просторi $L_2$ отримано точнi константи у нерiвностях типу Джексона для узагальнених модулiв неперервностi, якi включають в себе як звичайнi модулi неперервностi, так i рiзнi їх модифiкацiї. Данi результати, з огляду на класифiкацiю $(\psi , \beta )$-похiдних, дозволяють з єдиних позицiй розглядати бiльшiсть отриманих ранiше нерiвностей типу Джексона на класах диференцiйовних функцiй $L_2^r,\; r \in N$.
Моторний Віталій Павлович (до 75-річчя від дня народження)
Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Великін В. Л., Давидов О. В., Кофанов В. О., Парфінович Н. В., Пасько А. М., Романюк А. С., Рубан В. І., Самойленко А. М., Тіман М. П., Тригуб Р. М., Шевчук І. О., Шумейко О. О.
Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 7. - С. 995-999
О наилучших полиномиальных приближениях целых трансцендентных функций многих комплексных переменных в некоторых банаховых пространствах
Укр. мат. журн. - 2014. - 66, № 12. - С. 1598–1614
Для цілих трансцендентних Функцій $f$ багатьох комплексних змінних $m (m ≥ 2)$, які мають узагальнений порядок зростання $ρ_m (f; α, β)$, отримано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями найкращих поліноміальних наближень $f$ у банахових просторах Гарді $H q (U^m )$ та банахових просторах $Bm(p, q, ⋋)$, що вивчались М. I. Гварадзе. Зазначені результати є поширенням на багатовимірний випадок відповідних тверджень R. S. Varga, А. В. Батирєва, S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва.
Неравенства типа Джексона для специальных модулей непрерывности на всей вещественной оси и точные значения средних $ν$ -поперечников классов функций в пространстве $L_2 (ℝ)$
Укр. мат. журн. - 2014. - 66, № 6. - С. 740–766
У випадку апроксимації у npocTopi $L_2 (ℝ)$ цілими Функціями експоненціального типу $σ ∈ (0,∞)$ знайдено точні значення констант у нерівностях типу Джексона для спеціальних модулів неперервності $k$-го порядку, в яких замість оператора зсуву $T_h (f)$ використано оператор Стєклова $S_h (f)$. Для класів функцій, означених за допомогою вказаної характеристики гладкості, обчислено точні значення середніх $ν$-поперечників — лінійного, бернштейнівського, колмогоровського.
О наилучшей аппроксимации в среднем алгебраическими полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций
Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 12. - С. 1604–1621
На класі функцій L 2 r (D ρ ),, де r ∈ ℤ+; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ та τ — поліноми не вище другого та першого степенів відповідно, ρ — вагова функція, обчислено точне значення екстремальної характеристики
Тут 0 < p ≤ 2, 0 < h < 1, λ n (ρ) — власні значення оператора D ρ , φ— невід'ємна вимірна та сумовна на інтервалі (a, b)) функція, яка не еквівалентна нулю, Ω k,ρ — узагальнений модуль неперервності k-го порядку у просторі L 2,ρ (a, b), and E n (f)2,ρ — найкраще поліноміальне наближення в середньому з вагою p функції f ∈ L 2,ρ (a, b).. Знайдено точні значення поперечників класів функцій, означених за допомогою характеристики гладкості Ω k,ρ та K-функціоналу \( \mathbb{K} \) m.
Майор Пилипович Тіман (до 90-річчя від дня народження)
Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Моторний В. П., Пелешенко Б. Г., Романюк А. С., Самойленко А. М., Сердюк А. С., Тригуб Р. М.
Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 8. - С. 1141-1144
О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве $L_2$ и поперечниках некоторых классов функций
Вакарчук С. Б., Забутная В. И.
Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 8. - С. 1025-1032
Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю $2\pi$-перiодичних функцiй у просторi $L_2$, коли величина похибки наближення $E_{n-1}(f)$ оцiнюється через модуль неперервностi $k$-го порядку $\Omega_k(f)$, в якому замiсть оператора зсуву $T_h f (x) = f(x + h)$ використано оператор Стєклова $S_h f$. Для класiв функцiй, визначених за допомогою вказаної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення рiзних $n$-поперечникiв.
Наилучшее среднеквадратическое приближение функций, заданных на вещественной оси, целыми функциями экспоненциального типа
Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 5. - С. 604-615
У просторi $L_2 (\mathbb{R})$ обчислено точнi константи в нерiвностях типу Джексона у випадку, коли величина найкращого наближення $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ оцiнюється зверху осередненою характеристикою гладкостi $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$. Також обчислено точнi значення середнiх $\nu$-поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою $\Phi_2$.
Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации
Вакарчук М. Б., Вакарчук С. Б.
Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 12. - С. 1579-1601
Для функцiй однiєї комплексної змiнної, аналiтичних в одиничному колi, та для функцiй двох комплексних змiнних, аналiтичних в одиничному бiколi, у банахових просторах Хардi одержано точнi нерiвностi типу Колмогорова. Також наведено їх застосування до задач теорiї апроксимацiї аналiтичних функцiй однiєї та двох комплексних змiнних.
Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 8. - С. 1032–1043
Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня $≤ σ$ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, знайдено точні значення колмогоровського, лінійного та бернштейнівського середніх $ν$-поперечпиків, $ν > 0$.
О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций обобщенного порядка
Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 8. - С. 1011–1026
Доведено теорему типу Адамара, яка пов'язує узагальнений порядок зростання $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ цілої трансцендентної функції $f$ з коефіцієнтами її розвинення в ряд Фабера. Теорема є своєрідним поширенням одного результату С. К. Балашова на випадок скінченної однозв'язної області G з межею y, що належить до класу С. Я. Альпера $\Lambda^*.$ На основі цього отримано граничні рівності, які пов'язують $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ з послідовністю найкращих поліноміальних наближень $f$ у деяких банахових просторах функцій, аналітичних в $G$.
O некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций в пространствах $S^p,\quad 1 \leq p < \infty$
Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 3. - С. 303-316
Розглянуто та досліджено властивості гладкісних характеристик $\Omega_m(f, t)_{S^p},\quad m \in \mathbb{N},\quad t > 0$, функцій $f(x)$, що належать уведеному O. I. Степанцем простору $S^p,\quad 1 \leq p < \infty$. Одержано точні нерівності типу Джексона та обчислено точні значення поперечників класів функцій, визначених за допомогою $\Omega_m(f, t)_{S^p},\quad m \in \mathbb{N},\quad t > 0$.
Некоторые вопросы одновременной аппроксимации функций двух переменных и их производных интерполяционными билинейными сплайнами
Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 2. - С. 147–157
На деяких класах одержано точні значення оцінок похибок наближення функцій двох змінних та їх похідних інтерполяційними білінійними сплайнами.
Наилучшие полиномиальные приближения в $L_2$ и поперечники некоторых классов функций
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 11. - С. 1458-1466
Одержано точні значення екстремальних характеристик спеціального вигляду, що пов'язують найкращі поліпоміальиі наближення функцій $f(x) ∈ L_2^r(r ∈ ℤ_{+})$ та вирази, які містять модулі неперервності $k$-го порядку $ω_k(f^{(r)}, t)$- Завдяки цьому узагальнено один результат Л. В. Тайкова щодо нерівностей, які поєднують найкращі поліпоміальиі наближення і модулі неперервності функцій з $L_2$. Для класів У'(/:, г, визначених за допомогою величини $ω_k(f^{(r)}, t)$ та мажоранти $Ψ(t)=t^{4k/π^2}$, знайдено точні значення різних поперечників у просторі $L_2$.
О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 9. - С. 1155-1171
У банаховых просторах Харді $H_q$, Бергмана $H'_q$ на $ℬ (p, q, λ)$, одержано точні значення колмогоровського, берпштейнівського, гельфандінського, лінійного та тригопометричного $n$-поперечників класів аналітичних у колі $|z| < 1$ функцій, у яких усереднені модулі неперервності $r - x$ похідних мажоруються деякою функцією. Для цих класів також розгляиуго задачі оптимальпого відновлення та кодування функцій.
Неравенства типа Джексона и точные значения поперечников классов функций пространствах $S^p , 1 ≤ p < ∞$
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 595–605
У введених О. І. Степанцем просторах $S^p , 1 ≤ p < ∞$ одержано точні нерівності типу Джексона та обчислено точні значення поперечників класів функцій, визначених за допомогою усереднених модулів неперервності $m$-го порядку.
О наилучших полиномиальных приближениях $2π$-периодических функций и точных значениях $n$-поперечников функциональных классов в пространстве $L_2$
Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1603-1615
Для розв'язку екстремальних задач іеорії апроксимації у просіорі $L_2$ застосонапо τ-модулі, введені К. Г. Івановим. Одержано точні значення констант в нерівностях іипу Джексона га знайдено точні значення $n$-поперечників функціональних класів, визначених за допомогою даних модулів.
Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций
Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 9. - С. 1155-1162
Для цілих трансцендентних функцій скінченного узагальненого порядку одержано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями ix найкращих поліноміальних наближепь у банахових просторах Харді, Бергмана та \(B\left( {p,q,{\lambda }} \right)\) ).
Связь теоремы Адамара о трех кругах с некоторыми вопросами полиномиальной аппроксимации аналитических функций
Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 2. - С. 250-254
За допомогою класичної теореми Адамара одержано в певному розумінні точну нерівність між найкращими поліпоміальиими наближеннями аналітичної функції $f(z)$ з простору Харді $H_p, p ≥ 1$, у кругах радіусів $ρ, ρ_1$ та $ρ_2, 0 < ρ_1 < ρ < ρ_2 < 1$.
О наилучшем приближении в среднем и сверхсходимости последовательности полиномов наилучшего приближения
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 35-45
Досліджується властивість послідовності поліномів найкращого наближення в середньому, пов'язана зі збіжністю в деякому околі кожної точки регулярності функції на лінії рівня ∂ G R.
Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 6. - С. 753-770
Розглянуто питання застосування мішаних методів для побудови оптимальних за точністю алгоритмів обчислення багатомірних сингулярних інтегралів з ядрами типу Гільберта Запропоновано метод оптимізації кубатурних формул для сингулярних інтегралів з ядрами типу Гільберта, який грунтується на теорії квазіпоперечників.
О точных порядковых оценках некоторых $n$-поперечников классов функций, аналитических в односвязной области
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 4. - С. 543-547
У просторах $E_q(Ω), 1 < q < ∞$ які були введені В. І. Смирновим, одержано точні порядкові оцінки проекційного та спектрального $n$-поперечників класів $ W^r E_p(Ω)$ та $W^r E_p(Ω)Ф$ при неспівпадаючих $р$ та $q$, а також вказано екстремальні підпростори та оператори для розглянутих апроксимативних величин.
О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 3. - С. 301-308
У гільбертовому просторі L 2(Δ2), Δ = [0, 2 π] знайдено точні оцінки колмогоровських квазіпоперечників деяких, класів періодичних функцій двох змінних, у яких усереднені модулі гладкості змішаних похідних мажоруються заданими функціями.
Точные значения поперечников некоторых функциональных классов
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 1. - С. 133-135
Для класів аналітичних в одиничному колі функцій в банаховому просторі Харді одержано точні значення колмогоровського поперечника при неспівпаданні метрики класу і простору.
О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах. II
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 10. - С. 1318–1322
Для цілих трансцендентних функцій $f(z)$, що мають порядок $ρ = 0$, у метриці простору $E′_p(Ω),\, p ≥ 1$, розглянуто питання поведінки найкращих наближень $E_n(f)_{E′_p}$- поліномами степеня $ ≥ n$. Зокрема, встановлені співвідношення, що зв’язують логарифмічний порядок $ρ_L$ і $σ_L$ і тип функції $f(z)$ з $E_n(f)E′_p$.
О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах. I
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 9. - С. 1123–1133
Точные значения средних $N$-поперечников классов аналитических в верхней полуплоскости функций в пространстве Харди $H_2 ℝ_+^2$
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 7. - С. 814–824
У просторі Харді $H_2 ℝ_+^2$, який складається з аналітичних у верхній нівплощині функцій, і чи коїрнх $$\sup \left\{ {\int\limits_\mathbb{R} {|f(x + iy)|^2 dx: 0< y< \infty } } \right\}< \infty ,$$ визначені деякі середні $N$-поперечники та знайдені їх точні значення для ряду функціональних к часів.
Восстановление линейных функционалов на классах аналитических функций двух переменных по некоторой обобщенной информации
Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 1. - С. 32–37
Для класів аналітичних функцій, означених за допомогою 2-вимірної композиції Адамара, запропоновано метод відновлення лінійних функціоналів на основі блендінгових конструкцій; вказані найкращі методи відновлення, знайдені точні оцінки похибки.
О поперечниках некоторых классов аналитических функций. II
Укр. мат. журн. - 1992. - 44, № 8. - С. 1135–1138
Во введенных В. И. Смирновым пространствах $E_q(\Omega),\quad q \geq 1$, рассмотрены классы $W^rE_p(\Omega)\Phi,\quad p \geq 1$, состоящие из аналитических функций $f(z) \in E_p(\Omega)$, у которых интегральные модули непрерывности $r$-х производных мажорируются заданной неотрицатель-нон неубывающей функцией $\Phi$. Найдены порядковые оценки различных поперечников этих классов в пространствах $E_p(\Omega)$ при несовпадающих $p$ и $q$.
О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций
Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 6. - С. 838–843
В банаховом пространстве
О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2
Укр. мат. журн. - 1989. - 41, № 6. - С. 799-803
В пространстве Харди $H_p,\quad 1 \leq p \leq 2,$ получены точные неравенства, которые связывают наилучшее приближение полиномами аналитических в единичном круге функций, имеющих непрерывные значения на границе, и некоторые интегральные характеристики, содержащие модули непрерывности граничных значений. Для введенных классов аналитических функций в $H_2$ найдены точные значения поперечников по Колмогорову.
Оптимальная формула численного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых
Укр. мат. журн. - 1986. - 38, № 5. - С. 643–645
О приближении кривых, заданных в параметрическом виде, при помощи сплайн-кривых
Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 3. - С. 352 — 355
Получена точная оценка погрешности приближения кривых, лежащих в евклидовом пространстве размерности