Вакарчук С. Б.

Для класiв функцiй $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, де $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ а $\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ i $\Psi$ — вiдповiдно узагальнений модуль неперервностi $m$-го порядку та мажоранта, отримано оцiнки зверху i знизу колмогоровського, лiнiйного, бернштейнiвського, гельфандiвського, проекцiйного поперечникiв та поперечника Фур’є у просторi $L_{2,x}(0, 1)$. Також знайдено оцiнки зверху та знизу верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя на цих класах. Вказано умови для ма- жорант, при виконаннi яких обчислюються точнi значення зазначених поперечникiв та верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя.

У просторi $L_2(R)$ на класах функцiй $L^{\alpha}_2 (R)$, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона для характеристики гладкостi $\Lambda^w$, а також обчислено точнi значення середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою узагальнених характеристик гладкостi $\omega^w$ та $\Lambda^w$.

Розглянуто узагальненi характеристики гладкостi функцiй $\omega^w(f, t)$ i $\Lambda^w(f, t), t > 0,$ у просторi $L_2(R)$ i на класах $L^{\alpha}_2 (R)$, визначених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty)$, знайдено точнi нерiвностi типу Джексона для $\omega^w(f)$.

На класах функцiй, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона з модулем неперервностi дробового порядку $\beta \in (0,\infty )$ у випадку найкращої апроксимацiї цiлими функцiями експоненцiального типу у просторi $L_2(R)$. Зокрема, доведено спiввiдношення $$2^{- \beta /2}\sigma^{- \alpha} (1 - \cos t)^{- \beta /2} \leq \sup \{ \scr {A}_\sigma (f) / \omega_{\beta }(\scr{D}^{\alpha} f, t/\sigma ) : f \in L^{\alpha}_2 (R)\} \leq \sigma^{-\alpha} (1/t^2 + 1/2)^{\beta /2},$$ де $\beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ).$ Також обчислено точнi значення низки середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою дробового модуля неперервностi та мажоранти, яка задовольняє певнi умови.

Наведено опис повних модулiв неперервностi $2\pi$ -перiодичних функцiй двох змiнних у просторi $L_{2,2}$, який можна розглядати як поширення вiдомих результатiв О. В. Бєсова, С. Б. Стєчкiна, В. А. Юдiна про модулi неперервностi в $L_{2}$ на двовимiрний випадок.

У просторi $L_2$ обчислено точнi значення деяких $n$-поперечникiв класiв функцiй, у яких узагальненi модулi неперервностi $(\psi , \beta )$-похiдних або їх осереднення з вагою не перевищують значень мажорант $\Phi$, що задовольняють низку умов. Також розглянуто конкретнi приклади реалiзацiї отриманих результатiв.

На класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi мають уведенi О. I. Степанцем $(\psi , \beta)$-похiднi, у просторi $L_2$ отримано точнi константи у нерiвностях типу Джексона для узагальнених модулiв неперервностi, якi включають в себе як звичайнi модулi неперервностi, так i рiзнi їх модифiкацiї. Данi результати, з огляду на класифiкацiю $(\psi , \beta )$-похiдних, дозволяють з єдиних позицiй розглядати бiльшiсть отриманих ранiше нерiвностей типу Джексона на класах диференцiйовних функцiй $L_2^r,\; r \in N$.

Для цілих трансцендентних Функцій $f$ багатьох комплексних змінних $m (m ≥ 2)$, які мають узагальнений порядок зростання $ρ_m (f; α, β)$, отримано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями найкращих поліноміальних наближень $f$ у банахових просторах Гарді $H q (U^m )$ та банахових просторах $Bm(p, q, ⋋)$, що вивчались М. I. Гварадзе. Зазначені результати є поширенням на багатовимірний випадок відповідних тверджень R. S. Varga, А. В. Батирєва, S. M. Shah, A. R. Reddy, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва.

У випадку апроксимації у npocTopi $L_2 (ℝ)$ цілими Функціями експоненціального типу $σ ∈ (0,∞)$ знайдено точні значення констант у нерівностях типу Джексона для спеціальних модулів неперервності $k$-го порядку, в яких замість оператора зсуву $T_h (f)$ використано оператор Стєклова $S_h (f)$. Для класів функцій, означених за допомогою вказаної характеристики гладкості, обчислено точні значення середніх $ν$-поперечників — лінійного, бернштейнівського, колмогоровського.

На класі функцій L ₂ ^r (D _ρ ),, де r ∈ ℤ₊; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ та τ — поліноми не вище другого та першого степенів відповідно, ρ — вагова функція, обчислено точне значення екстремальної характеристики

Тут 0 < p ≤ 2, 0 < h < 1, λ _n (ρ) — власні значення оператора D _ρ , φ— невід'ємна вимірна та сумовна на інтервалі (a, b)) функція, яка не еквівалентна нулю, Ω _k,ρ — узагальнений модуль неперервності k-го порядку у просторі L _2,ρ (a, b), and E _n (f)_2,ρ — найкраще поліноміальне наближення в середньому з вагою p функції f ∈ L _2,ρ (a, b).. Знайдено точні значення поперечників класів функцій, означених за допомогою характеристики гладкості Ω _k,ρ та K-функціоналу \( \mathbb{K} \) _m.

Розглянуто питання про найкращу полiномiальну апроксимацiю $2\pi$-перiодичних функцiй у просторi $L_2$, коли величина похибки наближення $E_{n-1}(f)$ оцiнюється через модуль неперервностi $k$-го порядку $\Omega_k(f)$, в якому замiсть оператора зсуву $T_h f (x) = f(x + h)$ використано оператор Стєклова $S_h f$. Для класiв функцiй, визначених за допомогою вказаної характеристики гладкостi, обчислено точнi значення рiзних $n$-поперечникiв.

У просторi $L_2 (\mathbb{R})$ обчислено точнi константи в нерiвностях типу Джексона у випадку, коли величина найкращого наближення $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ оцiнюється зверху осередненою характеристикою гладкостi $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$. Також обчислено точнi значення середнiх $\nu$-поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою $\Phi_2$.

Для функцiй однiєї комплексної змiнної, аналiтичних в одиничному колi, та для функцiй двох комплексних змiнних, аналiтичних в одиничному бiколi, у банахових просторах Хардi одержано точнi нерiвностi типу Колмогорова. Також наведено їх застосування до задач теорiї апроксимацiї аналiтичних функцiй однiєї та двох комплексних змiнних.

Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня $≤ σ$ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості $Ω_1(f, t ),\; t > 0$, знайдено точні значення колмогоровського, лінійного та бернштейнівського середніх $ν$-поперечпиків, $ν > 0$.

Доведено теорему типу Адамара, яка пов'язує узагальнений порядок зростання $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ цілої трансцендентної функції $f$ з коефіцієнтами її розвинення в ряд Фабера. Теорема є своєрідним поширенням одного результату С. К. Балашова на випадок скінченної однозв'язної області G з межею y, що належить до класу С. Я. Альпера $\Lambda^*.$ На основі цього отримано граничні рівності, які пов'язують $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ з послідовністю найкращих поліноміальних наближень $f$ у деяких банахових просторах функцій, аналітичних в $G$.

Розглянуто та досліджено властивості гладкісних характеристик $\Omega_m(f, t)_{S^p},\quad m \in \mathbb{N},\quad t > 0$, функцій $f(x)$, що належать уведеному O. I. Степанцем простору $S^p,\quad 1 \leq p < \infty$. Одержано точні нерівності типу Джексона та обчислено точні значення поперечників класів функцій, визначених за допомогою $\Omega_m(f, t)_{S^p},\quad m \in \mathbb{N},\quad t > 0$.

На деяких класах одержано точні значення оцінок похибок наближення функцій двох змінних та їх похідних інтерполяційними білінійними сплайнами.

Одержано точні значення екстремальних характеристик спеціального вигляду, що пов'язують найкращі поліпоміальиі наближення функцій $f(x) ∈ L_2^r(r ∈ ℤ_{+})$ та вирази, які містять модулі неперервності $k$-го порядку $ω_k(f^{(r)}, t)$- Завдяки цьому узагальнено один результат Л. В. Тайкова щодо нерівностей, які поєднують найкращі поліпоміальиі наближення і модулі неперервності функцій з $L_2$. Для класів У'(/:, г, визначених за допомогою величини $ω_k(f^{(r)}, t)$ та мажоранти $Ψ(t)=t^{4k/π^2}$, знайдено точні значення різних поперечників у просторі $L_2$.

У банаховых просторах Харді $H_q$, Бергмана $H'_q$ на $ℬ (p, q, λ)$, одержано точні значення колмогоровського, берпштейнівського, гельфандінського, лінійного та тригопометричного $n$-поперечників класів аналітичних у колі $|z| < 1$ функцій, у яких усереднені модулі неперервності $r - x$ похідних мажоруються деякою функцією. Для цих класів також розгляиуго задачі оптимальпого відновлення та кодування функцій.

У введених О. І. Степанцем просторах $S^p , 1 ≤ p < ∞$ одержано точні нерівності типу Джексона та обчислено точні значення поперечників класів функцій, визначених за допомогою усереднених модулів неперервності $m$-го порядку.

Для розв'язку екстремальних задач іеорії апроксимації у просіорі $L_2$ застосонапо τ-модулі, введені К. Г. Івановим. Одержано точні значення констант в нерівностях іипу Джексона га знайдено точні значення $n$-поперечників функціональних класів, визначених за допомогою даних модулів.

Для цілих трансцендентних функцій скінченного узагальненого порядку одержано граничні співвідношення між вказаною характеристикою зростання та послідовностями ix найкращих поліноміальних наближепь у банахових просторах Харді, Бергмана та \(B\left( {p,q,{\lambda }} \right)\) ).

За допомогою класичної теореми Адамара одержано в певному розумінні точну нерівність між найкращими поліпоміальиими наближеннями аналітичної функції $f(z)$ з простору Харді $H_p, p ≥ 1$, у кругах радіусів $ρ, ρ_1$ та $ρ_2, 0 < ρ_1 < ρ < ρ_2 < 1$.

Досліджується властивість послідовності поліномів найкращого наближення в середньому, пов'язана зі збіжністю в деякому околі кожної точки регулярності функції на лінії рівня ∂ G _R.

Розглянуто питання застосування мішаних методів для побудови оптимальних за точністю алгоритмів обчислення багатомірних сингулярних інтегралів з ядрами типу Гільберта Запропоновано метод оптимізації кубатурних формул для сингулярних інтегралів з ядрами типу Гільберта, який грунтується на теорії квазіпоперечників.

У просторах $E_q(Ω), 1 < q < ∞$ які були введені В. І. Смирновим, одержано точні порядкові оцінки проекційного та спектрального $n$-поперечників класів $ W^r E_p(Ω)$ та $W^r E_p(Ω)Ф$ при неспівпадаючих $р$ та $q$, а також вказано екстремальні підпростори та оператори для розглянутих апроксимативних величин.

У гільбертовому просторі L ₂(Δ²), Δ = [0, 2 π] знайдено точні оцінки колмогоровських квазіпоперечників деяких, класів періодичних функцій двох змінних, у яких усереднені модулі гладкості змішаних похідних мажоруються заданими функціями.

Для класів аналітичних в одиничному колі функцій в банаховому просторі Харді одержано точні значення колмогоровського поперечника при неспівпаданні метрики класу і простору.

Для цілих трансцендентних функцій $f(z)$, що мають порядок $ρ = 0$, у метриці простору $E′_p(Ω),\, p ≥ 1$, розглянуто питання поведінки найкращих наближень $E_n(f)_{E′_p}$- поліномами сте­пеня $ ≥ n$. Зокрема, встановлені співвідношення, що зв’язують логарифмічний порядок $ρ_L$ і $σ_L$ і тип функції $f(z)$ з $E_n(f)E′_p$.

У просторі Харді $H_2 ℝ_+^2$, який складається з аналітичних у верхній нівплощині функцій, і чи коїрнх $$\sup \left\{ {\int\limits_\mathbb{R} {|f(x + iy)|^2 dx: 0< y< \infty } } \right\}< \infty ,$$ визначені деякі середні $N$-поперечники та знайдені їх точні значення для ряду функціональних к часів.

Для класів аналітичних функцій, означених за допомогою 2-вимірної композиції Адамара, за­пропоновано метод відновлення лінійних функціоналів на основі блендінгових конструкцій; вказані найкращі методи відновлення, знайдені точні оцінки похибки.

Во введенных В. И. Смирновым пространствах $E_q(\Omega),\quad q \geq 1$, рассмотрены классы $W^rE_p(\Omega)\Phi,\quad p \geq 1$, состоящие из аналитических функций $f(z) \in E_p(\Omega)$, у которых интегральные модули непрерывности $r$-х производных мажорируются заданной неотрицатель-нон неубывающей функцией $\Phi$. Найдены порядковые оценки различных поперечников этих классов в пространствах $E_p(\Omega)$ при несовпадающих $p$ и $q$.

В банаховом пространстве

В пространстве Харди $H_p,\quad 1 \leq p \leq 2,$ получены точные неравенства, которые связывают наилучшее приближение полиномами аналитических в единичном круге функций, имеющих непрерывные значения на границе, и некоторые интегральные характеристики, содержащие модули непрерывности граничных значений. Для введенных классов аналитических функций в $H_2$ найдены точные значения поперечников по Колмогорову.

Получена точная оценка погрешности приближения кривых, лежащих в евклидовом пространстве размерности