Скрипник І. В.

Досліджено поведінку залишкового члена асимптотичного розкладу для розв'язків квазілінійної параболічної задачі Коші — Діріхле в послідовності областей з дрібнозернистою межею. На підставі модифікації побудови асимптотичного розкладу та нових поточкових оцінок розв'язку модельної задачі доведено рівномірну збіжність залишкового члена до нуля.

Вивчається поведінка власних значень та власних функцій задачі Діріхле для нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в областях з дрібнозернистою межею.

Розглядається послідовність задач Діріхле для нелінійного дивергентного еліптичного оператора $A$: $W_m^1(Ω_s ) → [W_m^1(Ω_s )]^{*}$ в послідовності перфорованих областей $Ω_s ⊂ Ω$. За умови на локальну ємність множини $Ω \backslash Ω_s$ доведено такий принцип компенсованої компактності: ${\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty }} \left\langle {Ar_s ,z_s } \right\rangle = 0$, де $r_s(x), z_s(x)$ —слабко збіжні в послідовності такі, що $W_m^1(Ω)$ аналог коректора для задачі усереднення, $z_s (х)$ — довільна послідовність в ${\mathop {W_m^1 }\limits^ \circ} (\Omega _s)$, слабка границя якої дорівнює нулю.

Розглянуто загальну початково-крайову задачу для лінійного параболічного рівняння довільного парного порядку в анізотропних соболевських просторах. Доведено існування, єдиність розв'язку та апріорну оцінку для нього.

Вивчається усереднення задач Діріхле для вироджених нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в областях з дрібнозернистою межею за умови, що вагова функція належить до певного класу Макенхаупта. Доведено поточкову оцінку розв'язків модельної виродженої нелінійної задачі. Побудовано усереднену граничну задачу при нових структурних умовах відносно перфорованої області. Зокрема, не припускається малість діаметрів порожнин відносно віддалей між ними.

Досліджується квазілінійиа система різницевих рівнянь при певних умовах. Доводиться існування формального частинного о-розв'язку цієї системи у вигляді функціональних рядів спеціального типу. Доводиться також теорема про асимптотичний характер цього розв'язку.

В області D=Ω\E∈ R ⁿ розглядається нелінійне еліптичне рівняння вищого порядку при таких припущеннях, що відповідним енергетичним простором є W _p ^m (D)⩜W _q ¹ (D), q>mp. Оцінюється розв'язок u(x) цього рівняння, який задовольняє умову u(x)−kf(x)∈W _p ^m (D)⩜W _q ¹ (D), де k∈R ¹, f(x)∈ C ₀ ^∞ (Ω), and f(x)=1 for x∈F.. Доводиться поточкова оцінка u(x) в термінах ємкості вищого порядку множини F і віддалі від точки x до множини F.

Вивчається усереднення задач Діріхле для нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в областях з дрібнозернистою межею. Розглядається клас рівнянь, які допускають виродження відносно градієнтів розв'язків. Доведена поточкова оцінка розв'язків модельної нелінійної задачі. Побудована усереднена гранична задача при нових структурних умовах відносно перфорованої області. Зокрема, не припускається малість діаметрів порожнин відносно віддалей між ними.

Будується асимптотичний розклад розв'язків квазілінійних параболічних задач з граничною умовою Діріхле в областях з дрібнозернистою межею. Доводиться сильна збіжність до нуля послідовності залишкових членів розкладу у просторі $W^{1,1/2}_2$.

Визначається клас функцій $B_{q, s}$, до якого належать узагальнені розв'язки деяких квазіліній-них параболічних рівнянь вищого порядку. Доводиться вкладення $B_{q, s}$ простір гельдерових функцій.

Введено понятие регулярной точки обобщенного решения и $u(x, t) = (u^1(x, t),...,u^N(x, t))$ нелинейной равномерно параболической системы дивергентного вида порядка $2m,\, m>1$, и с помощью априорных оценок для $u(x, t)$ показано, что почти все точки цилиндра $Q = \Omega \times [0, T]$, где $\Omega$ — произвольная ограниченная с гладкой границей область из $R_n$, являются регулярными точками вектор-функции $u(x, t)$.

При определенных условиях определяется вращение поля $Ax + Tx$, где $A$ — монотонный, а $T$ — вполне непрерывный нелинейные операторы из банахова пространства в его сопряженное. Установлен ряд свойств вращения и получена формула индекса критической точки. В частности, дается следующее обобщение принципа Лере — Шаудера: для того чтобы уравнение $Ax + Tx = 0$ было разрешимо в области $D$, достаточно, чтобы вращение поля $Ax + Tx$ на границе $D$ было отличным от нуля.