Антонюк О. Вік.

Задача Діріхлє для рівняння тєплопровідності в обмеженій області $G ⊂ ℝ^{n+1}$ є характеристичною, оскільки існують граничні точки, в яких границя є дотичною до характеристичної гіперплощини $t = c$, де c є сталою. I. Г. Петров-ський (1934) уперше встановив необхідні та достатні умови на границю, що гарантують неперервність розв'язку аж до характеристичної точки за умови, що дані Діріхле є неперервними. Поява даної роботи була викликана постійним інтересом до вивчення загальних граничних задач для рівнянь параболічного типу в обмежених областях. Наш внесок у вивчення цієї проблеми полягає в побудові формального розв'язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності в околі гострокінцевої характеристичної граничної точки та дослідженні його асимптотичного характеру.

Досліджено залежність за початковими умовами для розв'язків дифузійних рівнянь з глобально неліпшицевими коефіцієнтами на некомпактних багатовидах. Хоча функція метричної відстані може бути не скрізь двічі диференційовною, показано, що за певних умов монотонності на коефіцієнти та кривину багатовиду існують експоненціальні за часом оцінки на неперервність дифузійного процесу за початковими умовами.
У поєднанні з методами теорії абсолютно неперервних функцій ці оцінки приводять до першого порядку регулярності розв'язків за початковими умовами. Запропонований підхід не використовує техніку моментів часу виходу процесу з локальних координатних околів, а також експоненціальних відображень з дотичного простору або вкладення багатовиду до лінійного простору більшої розмірності.

Знайдено достатні умови на коєФіцієнти дифузійного рівняння на некомпактному багаroвидi, за яких розв'язки не вибухають у скінченний проміжок часу. Ця властивість приводить до існування та єдиності розв'язків відповідних стохастичних рівнянь з глобально неліпшицевими коефіцієнтами.

Запропонований підхід спирається на оцінки на генератор дифузії, що слабко діє на метричну функцію багатовиду. Використання таких оцінок дозволяє знайти узагальнення умови монотонності на випадок багатовиду, що поєднує поведінку кривини багатовиду та коефіцієнтів рівняння.

Показано, що геометрично коректне дослідження регулярності нелінійних диференціальних потоків на багатовидах та асоційованих параболічних рівнянь вимагає введення нового типу варіацій за початковими умовами. Ці варіації означені за допомогою певного узагальнення коваріантної похідної Рімана на випадок дифеоморфізмів. Встановлено, яким чином кривина виникає в варіаційних рівняннях високого порядку, і одержано сім'ю апріорних нелінійних оцінок на регулярність довільного порядку. Використовуючи зв'язокміж диференціальними рівняннями на багатовидах і напівгрупами, досліджено $C^{∞}$-гладкі властивості розв'язків параболічних задач Коші зі зростаючими на нескінченності коефіцієнтами. Отримані умови регулярності узагальнюють класичні умови коерцитивності та дисипативності на випадок багатовиду і пов'язують поведінку коефіцієнтів дифузії та зсуву з геометричними властивостями багатовиду, без традиційного відокремлення кривини.

Показано, яким чином застосування нелінійних симетрій похідних високого порядку дозволяє вивчати регулярність розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у випадку, коли класичну схему Коші - Ліувілля - Пікара неможливо застосувати. Зокрема, отримано нелінійні оцінки на обмеженість та неперервність варіацій за початковими умовами і розглянуто їх застосування до динаміки необмежених ґраткових гіббсівських систем.

Мета роботи — показати, що спеціальний вибір напряму Камерона-Мартіна в характеризації міри Вінера через формулу інтегрування частинами приводить до множини природних зображень для похідних напівгруп нелінійних дифузій. Зокрема, знайдено остаточний розв'язок неліпшицевих сингулярностей числення Маллявена.

Наведена схема доведення не комутативної центральної граничної теореми для гіббсових температурних станів з використанням комутативної центральної граничної теореми для відповідних евклідових мір. Одержані застосування до моделі температурного ангармонійного кристалу та узагальненої моделі Ізінга з компактним неперервним конфігураційним простором.

Одержані умови істотної самоспряженості операторів Діріхле гіббсових мір з істотною областю гладких циліндричних функцій. Доведено збереження півгрупою оператора Діріхле деяких просторів гладких функцій.