Корнійчук М. П.

Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .

Наведено огляд наукових досліджень Б. О. Сторожеико та пов'язані з ними результати її учнів, а також стислу характеристику діяльності керованого нею семінару з теорії функцій.

Розглядається задача найкращого наближення періодичних функцій двох змінних підпростором сплайнів мінімального дефекту за рівномірною сіткою.

Знайдено точні оцінки варіації похідної $s^{(r)}(t)$ на періоді періодичного поліноміального сплайна $s(t)$ порядку $r$ дефекту 1 за фіксованим розбиттям $[0, 2π)$ та при умові $\left\| {s^{(r)} } \right\|_X = 1$ або $X=C$ або $L_1$

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.

Запропоновано поний підхід до розв'язання задачі про найкраще наближення деяким підпростором функцій $n$ змінних, що задаються обмеженнями на модуль неперервності деяких частинних похідних. Цей підхід грунтується на теоремі двоїстості та на зображенні функції як зчисленної суми простих.

Наведено короткий огляд нових напрямків в теорії наближень, пов'язаних з інформаційним підходом до задач оптимального відновлення математичних об'єктів за дискретною інформацією. В рамках цього підходу сформульовано три задачі відновлення операторів та їх значень; у випадку інтегрального оператора одержано деякі оцінки для похибки.

Розглянуто задачу про наближення в метриках $C$ і $L_p$ заданої на $n$-вимірпому кубі неперервної функції $f$ ступінчастими функціями. Отримано точні оцінки похибки через модуль неперервності функції $f$ або її спеціальної перестановки.

Розглядаються аспекти оптимального кодування і відновлення, пов'язані з поставленою А. М. Колмогоровым у 1962 р. задачею про складність j-задання функцій. Наведені деякі оцінки для докладності задачі відновлення функцій у рівномірній та хаусдорфовій метриках.

Одержано нові результати, пов'язані з оцінкою лінійних поперечників $λ_N$ та $λ^N$ у просторах $C$ і $L_p$ для класів $H^ω$, зокрема для $H^α,\; 0 < α < 1$).

Введені поняття адаптивних інформаційних поперечників множини в метричному просторі та розглядається задача про порівняння їх з неадаптивними поперечниками. Для одного класу неперервних функцій, який не є центрально-симетричним, одержані точні результати.

Сформульована задача про оптимальне відновлення значень $Аx,\; x \in X$, неперервного операто­ра $А:\; X \rightarrow Y,$, шляхом зменшення області невизначеності для $Ax$ у просторі $Y$ за рахунок одержання інформації $\mu_k(x),\; k = 1, 2, ...,$, де $\mu_k$ — задані на $X$ неперервні функціонали. Конкретні результати одержані для деяких інтегральних операторів у функціональних про­сторах.

We introduce the concept of informativeness of a continuous functional given on a metric space $X$ with respect to a set $\mathfrak{M} \subset X$ and a metric $\rho _X$. The problem of finding a functional with the greatest informaiveness is stated. For some sets of continuous functions, this problem is solved by reducing to a subset of functional given by a value of a function at a point.

Розглянута задача відновлення монотонних функцій $f(t) \in H^{\omega}[a, b]$ з фіксованими значеннями на кінцях відрізка за допомогою адаптивних алгоритмів одержання інформації про значення $f(t)$ в окремих точках. Для мінімально можливого числа $N(\varepsilon)$ кроків, що гарантують рівномір­ну $ε$-похибку, здобута асимптотично точна оцінка, яка не може бути поліпшена на всій множи­ні адаптивних алгоритмів. Для модулів неперервності типу $εα, 0 < α < 1$, величина $N(\varepsilon)$ має ви­щий порядок при $ε → 0$, ніж в неадаптивному випадку при тій же кількості одиниць інформації.

Розглядаються пасивні та активні алгоритми відновлення функцій, які задовольняют ь умову $|f(t′) − f(t″)| ≤ |t′ − t″|^{α},\; 0 < α ≤ 1,$ за значеннями $f(t)$ в точках відрізка $[a, b]$. Запропонований активний алгоритм, який при $0 < α < 1$ для монотонних функцій вказаного класу гарантує по­рядок похибки в $C [a, b]$ більш високий, ніж будь-який пасивний алгоритм.

Рассматриваются задачи кодирования и восстановления функциональной зависимости, когда значениями функционалов на $\varphi$ кодируется функция функции $f = A \varphi$, где $A$ — некоторый оператор. Рассмотрены конкретные случаи для операторов дифференцирования, свертки, а также для решения краевой задачи.

На основе нових фактов о поведении производных при интерполировании сплайнами дается доказательство точных оценок погрешности приближения первой производной.

Доказываются утверждения, выясняющие характер поведения производных погрешности интерполирования дифференцируемых периодических функций сплайнами по отношению к соответствующим производным стандартного совершенного сплайна, определяющего погрешность на всем классе функций.

В первой части статьи (пп. 1, 2) дается краткий исторический обзор развития исследований по теории приближения функций с выделением важнейших этапов и основополагающих работ, стимулировавших исследования на каждом этапе. Во второй части (пп. 3, 4) освещаются основные аспекты современного состояния теории приближения и некоторые тенденции ее дальнейшего развития, формулируются новые постановки задач, связанных с оптимизацией методов приближения.

Получены оценки (в ряде случаев точные) для погрешности восстановления непрерывных и дифференцируемых вектор-функций в

Получены точные результаты в задаче оптимального кодирования функций класса $H^{\omega}$ векторами из $R_N$ в метрике пространства $L_p [0, 1],\quad 0

Рассматривается задача приближения функций $f (t) \in С^1 [0, 1]$ параболи- ческими сплайнами $\sigma_N (f, f)$ дефекта 1 по равномерному разбиению $\{i/N\}, \quad i = 0, 1, ..., N,$ интерполирующими функцию $f(t)$ в точках $(2i — 1 )/2N,\quad i = 1, ..., N,$ при краевых условиях $\sigma_N (f, 0) = f'(0),\quad \sigma_N (f, 1) = f'(1)$. Получены точные оценки для погрешности в метрике $L_1 [0, 1]$ на классе $W^2H^\omega$ (при выпуклом вверх модуле непрерывности $\omega (\delta))$, а также для уклонения $\sigma' ( f , t)$ от $f (t)$ в метрике $L_p [0, 1],\quad 1\leq p \leq \infty$ на множестве $С^3 [0, 1]$. Приведены периодические аналоги этих результатов.

Рассмотрены сплайны порядка