Корнійчук М. П.
Неравенства типа Колмогорова для смешанных производных функций многих переменных
Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 579-594
Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .
Ігор Володимирович Скрипник (до 60-річчя від дня народження)
Березанський Ю. М., Кіт Г. С., Ковалевський О. А., Ковальов О. М., Корнійчук М. П., Королюк В. С., Луковський І. О., Митропольський Ю. О., Савченко О. Я., Самойленко А. М., Харламов П. В., Хруслов Є. Я.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 11. - С. 1443-1445
Краткий обзор научной деятельности Э. А. Сторожепко
Кашин Б. С., Корнейчук Н. П., Ульянов П. П., Шевчук И. А.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 4. - С. 463-473
Наведено огляд наукових досліджень Б. О. Сторожеико та пов'язані з ними результати її учнів, а також стислу характеристику діяльності керованого нею семінару з теорії функцій.
Наилучшее приближение полиномиальными сплайнами периодических функций двух переменных
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 52-57
Розглядається задача найкращого наближення періодичних функцій двох змінних підпростором сплайнів мінімального дефекту за рівномірною сіткою.
Неравенства для полиномиальных сплайнов
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 58-65
Знайдено точні оцінки варіації похідної $s^{(r)}(t)$ на періоді періодичного поліноміального сплайна $s(t)$ порядку $r$ дефекту 1 за фіксованим розбиттям $[0, 2π)$ та при умові $\left\| {s^{(r)} } \right\|_X = 1$ або $X=C$ або $L_1$
О неравенствах для верхних граней функционалов на классах $W^r H^{ω}$ и некоторых их приложениях
Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 66-84
Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.
О наилучшем приближении функций $n$ переменных
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 10. - С. 1352–1359
Запропоновано поний підхід до розв'язання задачі про найкраще наближення деяким підпростором функцій $n$ змінних, що задаються обмеженнями на модуль неперервності деяких частинних похідних. Цей підхід грунтується на теоремі двоїстості та на зображенні функції як зчисленної суми простих.
Информационные аспекта в теории приближения и восстановление операторов
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 3. - С. 314–327
Наведено короткий огляд нових напрямків в теорії наближень, пов'язаних з інформаційним підходом до задач оптимального відновлення математичних об'єктів за дискретною інформацією. В рамках цього підходу сформульовано три задачі відновлення операторів та їх значень; у випадку інтегрального оператора одержано деякі оцінки для похибки.
Перестановки и кусочно-постоянное приближение непрерывных функций $n$ переменных
Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 7. - С. 907–918
Розглянуто задачу про наближення в метриках $C$ і $L_p$ заданої на $n$-вимірпому кубі неперервної функції $f$ ступінчастими функціями. Отримано точні оцінки похибки через модуль неперервності функції $f$ або її спеціальної перестановки.
Анатолій Михайлович Самойлепко (до шістдесятиріччя від дня народження)
Березанський Ю. М., Бойчук О. А., Корнійчук М. П., Королюк В. С., Кошляков В. М., Кулик В. Л., Лучка А. Ю., Митропольський Ю. О., Пелюх Г. П., Перестюк М. О., Скороход А. В., Скрипник І. В., Ткаченко В. І., Трофімчук С. І.
Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 1. - С. 3–4
Сложность аппроксимациоиных задач
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 12. - С. 1683-1694
Розглядаються аспекти оптимального кодування і відновлення, пов'язані з поставленою А. М. Колмогоровым у 1962 р. задачею про складність j-задання функцій. Наведені деякі оцінки для докладності задачі відновлення функцій у рівномірній та хаусдорфовій метриках.
О линейных поперечниках классов $H^ω$
Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 9. - С. 1255-1264
Одержано нові результати, пов'язані з оцінкою лінійних поперечників $λ_N$ та $λ^N$ у просторах $C$ і $L_p$ для класів $H^ω$, зокрема для $H^α,\; 0 < α < 1$).
Информационные поперечники
Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 11. - С. 1506–1518
Введені поняття адаптивних інформаційних поперечників множини в метричному просторі та розглядається задача про порівняння їх з неадаптивними поперечниками. Для одного класу неперервних функцій, який не є центрально-симетричним, одержані точні результати.
Об оптимальном восстановлении значений операторов
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 10. - С. 1375–1381
Сформульована задача про оптимальне відновлення значень $Аx,\; x \in X$, неперервного оператора $А:\; X \rightarrow Y,$, шляхом зменшення області невизначеності для $Ax$ у просторі $Y$ за рахунок одержання інформації $\mu_k(x),\; k = 1, 2, ...,$, де $\mu_k$ — задані на $X$ неперервні функціонали. Конкретні результати одержані для деяких інтегральних операторів у функціональних просторах.
Информативность функционалов
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 9. - С. 1156–1163
We introduce the concept of informativeness of a continuous functional given on a metric space $X$ with respect to a set $\mathfrak{M} \subset X$ and a metric $\rho _X$. The problem of finding a functional with the greatest informaiveness is stated. For some sets of continuous functions, this problem is solved by reducing to a subset of functional given by a value of a function at a point.
Оптимизация адаптивных алгоритмов восстановления монотонных функций класса $H^ω$
Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 12. - С. 1627–1634
Розглянута задача відновлення монотонних функцій $f(t) \in H^{\omega}[a, b]$ з фіксованими значеннями на кінцях відрізка за допомогою адаптивних алгоритмів одержання інформації про значення $f(t)$ в окремих точках. Для мінімально можливого числа $N(\varepsilon)$ кроків, що гарантують рівномірну $ε$-похибку, здобута асимптотично точна оцінка, яка не може бути поліпшена на всій множині адаптивних алгоритмів. Для модулів неперервності типу $εα, 0 < α < 1$, величина $N(\varepsilon)$ має вищий порядок при $ε → 0$, ніж в неадаптивному випадку при тій же кількості одиниць інформації.
О пассивных и активных алгоритмах восстановления функций
Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 2. - С. 258–264
Розглядаються пасивні та активні алгоритми відновлення функцій, які задовольняют ь умову $|f(t′) − f(t″)| ≤ |t′ − t″|^{α},\; 0 < α ≤ 1,$ за значеннями $f(t)$ в точках відрізка $[a, b]$. Запропонований активний алгоритм, який при $0 < α < 1$ для монотонних функцій вказаного класу гарантує порядок похибки в $C [a, b]$ більш високий, ніж будь-який пасивний алгоритм.
О некоторых задачах кодирования и восстановления функций
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 4. - С. 514-524
Рассматриваются задачи кодирования и восстановления функциональной зависимости, когда значениями функционалов на $\varphi$ кодируется функция функции $f = A \varphi$, где $A$ — некоторый оператор. Рассмотрены конкретные случаи для операторов дифференцирования, свертки, а также для решения краевой задачи.
О получении точных оценок для производной погрешности сплайн-интерполирования
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 2. - С. 206-210
На основе нових фактов о поведении производных при интерполировании сплайнами дается доказательство точных оценок погрешности приближения первой производной.
О поведении производных погрешности сплайн-интерполирования
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 1. - С. 67–72
Доказываются утверждения, выясняющие характер поведения производных погрешности интерполирования дифференцируемых периодических функций сплайнами по отношению к соответствующим производным стандартного совершенного сплайна, определяющего погрешность на всем классе функций.
Теория приближения и проблемы оптимизации (расширенный текст доклада, прочитанного автором на заседании Киевского математического общества 11 мая 1989 г.)
Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 5. - С. 579–593
В первой части статьи (пп. 1, 2) дается краткий исторический обзор развития исследований по теории приближения функций с выделением важнейших этапов и основополагающих работ, стимулировавших исследования на каждом этапе. Во второй части (пп. 3, 4) освещаются основные аспекты современного состояния теории приближения и некоторые тенденции ее дальнейшего развития, формулируются новые постановки задач, связанных с оптимизацией методов приближения.
Об оптимальном кодировании вектор-функций
Укр. мат. журн. - 1988. - 40, № 6. - С. 737-743
Получены оценки (в ряде случаев точные) для погрешности восстановления непрерывных и дифференцируемых вектор-функций в
Об оптимальном кодировании элементов метрического пространства
Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 2. - С. 168–173
Получены точные результаты в задаче оптимального кодирования функций класса $H^{\omega}$ векторами из $R_N$ в метрике пространства $L_p [0, 1],\quad 0
О приближении параболическими сплайнами дифференцируемых функций и их производных
Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 6. - С. 702-710
Рассматривается задача приближения функций $f (t) \in С^1 [0, 1]$ параболи- ческими сплайнами $\sigma_N (f, f)$ дефекта 1 по равномерному разбиению $\{i/N\}, \quad i = 0, 1, ..., N,$ интерполирующими функцию $f(t)$ в точках $(2i — 1 )/2N,\quad i = 1, ..., N,$ при краевых условиях $\sigma_N (f, 0) = f'(0),\quad \sigma_N (f, 1) = f'(1)$. Получены точные оценки для погрешности в метрике $L_1 [0, 1]$ на классе $W^2H^\omega$ (при выпуклом вверх модуле непрерывности $\omega (\delta))$, а также для уклонения $\sigma' ( f , t)$ от $f (t)$ в метрике $L_p [0, 1],\quad 1\leq p \leq \infty$ на множестве $С^3 [0, 1]$. Приведены периодические аналоги этих результатов.
Международная конференция по теории приближения функций
Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 6. - С. 804–805
О приближении локальными сплайнами минимального дефекта
Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 5. - С. 617—621
Рассмотрены сплайны порядка
Об оценке погрешности сплайн-интерполяции в интегральной метрике
Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 3. - С. 391–394
Неравенства для наилучшего приближения сплайнами дифференцируемых периодических функций
Укр. мат. журн. - 1979. - 31, № 4. - С. 380–388
Про наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами
Корнійчук М. П., Половина О. І.
Укр. мат. журн. - 1972. - 24, № 3. - С. 326—339
Об асимптотической оценке остатка при приближении периодических функций, удовлетворяющих условию Липшица, интерполяционными многочленами с равноотстоящими узлами
Укр. мат. журн. - 1961. - 13, № 1. - С. 100-106