Фущич В. І.

Досліджуються зображення груп Галілея як груп перетворень Лі у просторі двох незалежних Та однієї залежної змінних. Проведена класифікація зображень груп $AG_1(1,1), AG_2(1,1), AG_3(1,1), A ~ G_1 (1,1), A ~ G_2 (1,1),$ та $AG_3(1,1)$ у класі векторних полів Лі.

Вивчена умовна симетрія рівнянь Нав'є — Стокса. Побудовані багатопараметричні сім'ї точних розв'язків рівнянь Нав'є — Стокса.

Описано локальні і нелокальиі симетрії лінійних та нелінійних хвильових рівнянь, класифікації нелінійних багатовимірних рівнянь, сумісних з принципом відносності Галілея. Запропоновано нові системи нелінійних рівнянь для опису фізичних процесів у класичній та квантовій механіці.

Описані нелінійні галілей-інваріантні рівняння типу Бюргерсата Кортевега-де-Фріза високого порядку. Досліджено симетрійиі властивості цих рівнянь. Побудовані нові нелінійні розширення для алгебри Галілея $AG(1, 1)$.

Для вектор-потенціалу поля Янга - Міллса побудовано повний набір інваріантних відносно $Р(1, 3)$- нееквівалентних підгруп групи Пуанкаре анзаців, з використанням яких проведено редукцію самодуальних рівнянь Янга - Мілса до систем звичайних диференціальних рівнянь.

Дана стаття присвячена розв’язанню проблеми розділення змінних для хвильового рівняння $u_{tt} - u_{xx} + V(x)u = 0$. Вказані всі потенціали $V(x)$ , для яких дане рівняння допускає нетривіаль­не розділення змінних. Крім того, одержані всі системи координат, в яких розцінюється дос­ліджуване рівняння.

We give a classification of the maximal subalgebras of rank $n — 1$ for the extended Poincare algebra $A \widetilde{P}(1, n)$, which is realized on the set of solutions of the d'Alembeit equation $\Box u + \lambda u^k = 0$. These subalgebras are used for constructing the anzatses reducing this equation to differential equations with two invariant variables.

Для класу Галілей-неінваріантних рівнянь параболічного типу запропоновано конструктивний метод знаходження операторів умовної симетрії, які утворюють базис алгебри Галілея. Описані додаткові умови, при яких можливе розширення симетрії. Проведено ангиредукцію, а також знайдені деякі точні розв’язки розглядуваного нелінійного рівняння, виходячи з умовної Галілей-інваріантності його диференціальних наслідків.

Описані нелінійні рівняння типу Шредінгера, інваріантні відносно розширених груп Галілея. Вивчена умовна симетрія таких рівнянь і проведена їх редукція, побудовані класи точних розв'язків.

Нелінійна система теплопровідності нелокальною підстановкою зведена до скалярного неліній­ного рівняння теплопровідності. Лієвська і умовна інваріантність скалярного рівняння викорис­тана для знаходження нелокальных анзаців, які редукують вихідну систему до систем зви­чайних диференціальних рівнянь.

Предложен новый подход к построению анзацев, редуцирующих многомерное нелинейное уравнение Шредингера к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При этом, кроме известных решений, получаемых с помощью лиевской симметрии, найдены решения, порождаемые операторами условной инвариантности уравнения Шредингера.

Представлен обзор результатов по исследованию условной симметрии нелинейных у равна" ний математической и теоретической физики: волнового уравнения, уравнений Шредингера, Буссинеска. Кортевега — де Фриза, Максвелла, Дирака. Построепы семейства точных решений, которые не могут быть получены в классическом подходе Ли.

Предложен конструктивный метод интегрирования переопределенной системы нелинейных комплексных волновых уравнений Д'Аламбера и эйконала $\Box u = F_1(u), u_{x \mu}\;\;u_{x \mu} = F_2(u)$. С помощью этого метода получено полное аналитическое описание множества гладких решений этой системы.

Изучена структура инвариантов расширенной изохронной алгебры Галилея $\tilde{AG}(0, n-1)$, являющейся подалгеброй алгебры Пуанкаре $AP(1, n)$. С использованием этих результатов проведена классификация максимальных подалгебр ранга $n — 2$ и $n — 1$ алгебры $AP(1, n)$. По подалгебрам ранга $n — 1$ алгебры $AP(1, n)$ построены анзацы, редуцирующие уравнение $\Phi (\Box u, (\nabla u^2), u) = 0$ к дифференциальным уравнениям от двух инвариантных переменных.

Предложен метод описания максимальных подалгебр ранга $r,\quad 1 \leq r \leq 4$, конформной алгебры $AC$(1,4), являющейся максимальной алгеброй инвариантности уравнения эйконала. С помощью этого метода проведена классификация с точностью до $C$(1,4)-эквивалентности всех максимальных подалгебр $L$ ранга 1, 2, 3 и 4 алгебры $AC$(1,4), удовлетворяющих условию $L \bigcap V \subset \{P_1, P_2, P_3, P_4\}$ где $V$ — пространство трансляций.

Установлено существование семейств ограниченных по пространственным переменным решений нелинейного многомерного уравнения Шредингера, а также изучены их асимптотические свойства. Исследование включает два этапа. Вначале исходное уравнение с помощью анзацев специального вида редуцируется к набору обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем проводится качественный анализ каждого такого уравнения.

С использованием подалгебр ранга 3 алгебры

Описаны максимальные подалгебры $L$ ранга $n$ расширенной алгебры Пуанкаре $\widetilde{AP}(1, n)$, удовлетворяющие условию $L \cap V \subset

Известно, что нелинейное трехмерное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью допускает редукцию к набору обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной работе исследована задача о существовании и асимптотическом поведении ограниченных на полуоси решений этих уравнений. На основе такого подхода описаны семейства решений уравнения Шредингера, обладающих разнообразными свойствами: квазипериодические, сферически симметрические, убывающие на бесконечности по пространственным переменным, неограниченно растущие во времени.

Для математического описания процессов теплопроводности и диффузии предложено новое дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка $Lu = \alpha_1L_1u + \alpha_2L_2u = 0$, где $L_2 = L_1L_1,\; L_1 $, — классический оператор теплопроводности, инвариантное относительно группы Галилея. Установлено интегральное представление решения краевой задачи, изучены решения задачи Коши и типа бегущей волны, а также решения со степенным и степенным граничным режимом с обострением.

Описаны системы нелинейных эволюционных уравнений второго порядка, инвариантные относительно группы Галилея

С точностью до введенного авторами понятия эквивалентности описана решетка подалгебр коразмерности 1 алгебры Пуанкаре

Описаны волновые нелинейные уравнения, инвариантные относительно расширенных групп Галилея и Пуанкаре. Предложены методы построения семейств точных решений таких уравнений. Установлено, что широкий класс нелинейных волновых уравнений, которые неинвариантны относительно групп Галилея, Пуанкаре и их подгрупп, могут быть редуцированы к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Задача классификации относительно $E(n)$-сопряженности подалгебр алгебры Ли $L E(n)$ обобщенной группы Евклида $E(n)$ сведена к задаче о классификации относительно $O(n)$-сопряженности неприводимых частей подалгебр алгебры $L O(n)$. Найдены в явном виде максимальные абелевы подалгебры алгебры $L E(n),\; n \geq 2$, и все подалгебры алгебры $L E(n)$.