Задерей П. В.

Для функций двух переменных, заданных тригонометрическими рядами с квазивыпуклыми коэффициентами, получены оценки их вариаций в смысле Харди – Витали.

Получены оценки отклонений сумм Тейлора на классах аналитических функций $H_\psi^\infty$, выраженные через наилучшие приближение $\psi$-производных функций, а также асимптотические равенства для точных верхних граней уклонений сумм Тейлора от функций из этих классов.

Рассматривается уклонение сумм Фурье на пространствах ${C^{\bar{\psi}}}$, причем полученные оценки таких уклонений выражены через наилучшие приближения $\bar{\psi}$-производных функций в понимании А. И. Степанца. Последовательности $\bar{\psi} = (ψ_1, ψ_2)$ являются квазивыпуклыми.

Одержано необхiднi умови збiжностi в середньому кратних рядiв Фур’є iнтегровних функцiй.

Показано, що для тригонометричних рядів вигляду $$\sum_{k=0}^{\infty}a_k\sum_{l\in kV \setminus (k-1)V}e^{i(l, x)}, \quad a_k\rightarrow 0,\quad k\rightarrow \infty,$$ що задані на $[-\pi, \pi)^m$ , де $V$ — деякии поліедр у $R^m$ , виконується нерівність $$\int\limits_{T^m}\left|\sum^{\infty}_{k=0} a_k \sum_{l\in kV\setminus(k-1)V}e^{i(l, x)} \right| dx \leq C \sum^{\infty}_{k=0} (k+1) |\Delta A_k|,$$ якщо коефіцієнти $a_k$ задовольняють умови типу Сідона - Теляковського $$A_k\rightarrow\infty,\quad |\Delta a_k| \leq A_k, \quad \forall k \geq 0, \quad \sum^{\infty}_{k=0}(k+1) |\Delta A_k|<\infty.$$

Одержано необхідні та достатні умови збіжності в середньому тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови Боаса -Теляковського.

Одержано двовимірний аналог результату Харді і Літтлвуда про абсолютну збіжність степеневих рядів на випадок кратних рядів на межі одиничного полікруга.

Отримано в інтегральній метриці оцінки знизу найкращого наближення та модуля неперервності функції, виражені через коефіцієнти її ряду Фур'є.

Одержані оцінки найкращих наближень в інтегральній та рівномірній метриках на класах пері­одичних функцій багатьох змінних, які визначаються обмеженнями на змішану узагальнену по­хідну, введену О. І. Степанцем. При цьому гармоніки тригонометричних поліномів, які вико­ристовуються для наближення розглядуваних класів функцій, беруться з так званих гіперболі­чних хрестів.

Изучается отклонение частных сумм Фурье на классах $$H^{u,v}_{\omega_1,\omega_2}(P) = \left\{f(x,y): |f(x,y) - f(x',y')| \leq \omega_1 (|x - x'|) + \omega_2 (|y - y'|),\quad \forall (x,y), \right.$$ $$\left.(x',y') \in (P) = [-\pi \leq x \leq \pi,\; -\pi \leq y \leq \pi ]\right) \bigwedge (f(x,\pi) - f(x,-\pi) = u(x)).$$ $$\left.((\pi,y) - f(-\pi,y) = v(y))\right\} $$ где $\omega_1(t), \omega_2(z)$ — произвольные фиксированные модули непрерывности, а $u(t)$ и $ c(z)$ — непрерывные фиксированные функции.