Том 34, № 4, 1982

Изучается одно обобщение задачи наилучшего приближения в пространствах суммируемых функций. Это обобщение позволяет, в частности, рассматривать известные результаты по наилучшему и наилучшему одностороннему приближению как крайние случаи решения одной общей задачи.

Рассмотрена задача Коши для линейного уравнения гиперболического типа с постоянными коэффициентами. Аппроксимационным методом построен алгебраический многочлен от двух переменных, приближающий решение задачи Коши, и эффективно оценена погрешность этого приближения.

Изучается структура множества производных чисел

Аппроксимационный метод, предложенный В. К. Дзядыком, применяется для приближенного решения одного класса операторных уравнений в банаховых пространствах. Доказанная теорема вскрывает общие свойства аппроксимационного метода. Получена эффективная и точная по порядку оценка погрешности.

Приведены достаточные условия экспоненциального представления моментов решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений со случайными параметрами.

Получено решение системы двух уравнений, одно из которых — с частными производными, а второе — интегро-дифференциальное с краевыми и начальными условиями. К этой задаче приходим при изучении вопроса о распространении волн при продольном ударе по стержню переменного сечения. Материал стержня удовлетворяет закону Больцмана—Вольтерра.

Исследуется оператор

Для системы дифференциальных уравнений с быстро вращающейся фазой установлены основные неравенства принципа сравнения со скалярной функции Ляпунова на основе обобщенного уравнения сравнения без требования условия монотонности ее правой части. В качестве примера рассмотрено уравнение движения математического маятника в режиме вращения.

Указан класс функций

При помощи дискретного аналога периодического варианта метода обратной задачи теории рассеяния проинтегрированы уравнения движения периодической цепочки Тода

Для уравнения с запаздывающим аргументом с переменными неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве получены условия на коэффициенты и на переменные запаздывания, обеспечивающие асимптотическую устойчивость нулевого решения однородного уравнения. Получена оценка характеристического показателя решения уравнения.

Доказывается единственность восстановления проводимости слоистой среды по известному на поверхности потенциалу поля электрического тока, создаваемого точечным источником. После соответствующих замен переменных эта задача сводится к единственности восстановления одномерного уравнения Шредингера по известному импедансу.

Доказаны две предельные теоремы для ветвящегося процесса с переменным режимом с иммиграцией, описывающего эволюцию частиц в популяции, вероятности размножения частиц в которой обратно пропорциональны размеру популяции.

Для построения мажорант решения задачи массопереноса при фильтрации в пористой среде в предположении преобладания процессов конвективного массопереноса над диффузионными используется методика перехода к области комплексного потенциала и совместно с ней применен асимптотический метод Люстерника—Вишика.

Выясняется вопрос о конечной определенности дифференциальных форм первой степени относительно группы замен переменных в терминах свойств линейного приближения формы. Приведены достаточные условия конечной определенности и близкие к ним необходимые условия. Показано, что в «промежуточном» случае вопрос о конечной определенности не может быть решен в терминах свойств линейного приближения. Приведена полная классификация форм от одной, двух и трех переменных.

Исследуются алгоритмы с ускоренной сходимостью в аналитическом двустороннем методе приближенного интегрирования задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с частными производными, содержащего параметры. Рассмотренные алгоритмы распространяются на системы дифференциальных уравнений, а также на ряд задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными.

Доказан принцип усреднения Боголюбова — Митропольского для случайных колебательных процессов в существенно нелинейных стохастических системах дифференциальных уравнений второго порядка.

Установлено, что произвольную функцию

Получены достаточные условия того, что интегральный оператор с переменной интегрируемой особенностью компактен в пространстве гельдеровских функций со степенным весом.

Доказаны существование и единственность некоторых обобщенных решений краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений с нелокальным краевым условием.

На основание свойств выпуклых последовательностей порядка к, доказаны некоторые неравенства со средними степенными Доказано одно неравенство типа Гельдера.

Методом нелинейной механики и теории марковских процессов рассмотрено решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для неавтономныхсистем, подтвержденных периодическим и случайным воздействиям.

Для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

Получено спектральное представление счетно-параметрической полугруппы, индексированной положительным октантом вещественного сепарабельного гильбертова пространства. Приведена также теорема о спектральном представлении счетно-параметрического семейства симметрических операторов.