Том 50, № 2, 1998

Одержані результати про звідність оператора зваженого зсуву до системи скалярних операторів зваженого зсуву.

Розглядаються нелінійні (з петеровим оператором в лінійній частині) крайові задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь в околі породжуючих розв'язків. На основі методу Ляпунова-Шмідта отримані умови існування розв'язків розглядуваних крайових задач та ітераційні алгоритми їх побудови.

Розглядаються функціональні інтегральні нерівності типу Беллмана - Біхарі для розривних функцій багатьох змінних.

З допомогою знакозмінних функцій Ляпунова досліджуються питання регулярності і слабкої регулярності деяких лінійних розширень динамічних систем на торі.

Встановлюються умови сумісності системи диференціальних рівнянь з імпульсним впливом та додатковими умовами і дається обгрунтування щодо застосування до таких задач наближених методів.

Побудована стохастична динаміка, яка відповідає ієрархії Больцмана. О тримані рівняння Ліувілля-Іто, а з них виведена ієрархія Больцмана, яка розглядається як абстрактне еволюційне рівняння. Побудована півгрупа еволюційних операторів і доведено існування розв'язків ієрархії Больцмана в просторі послідовностей інтегровних та обмежених функцій. На цій основі доведено існування глобальних розв'язків рівняння Больцмана та існування границі Больцмана — Греда на довільному інтервалі часу.

Доведено теорему про оцінку зверху числа характеристичних значень голоморфної та обмеженої в області операторнозначної функції. Ця оцінка аналогічна добре відомій нерівності для нулів голоморфної та обмеженої в області числової функції. З отриманої теореми виведено ряд наслідків, зокрема твердження про оцінку числа характеристичних значень поліноміальних жмутків операторів, що лежать у заданому крузі.

Проаналізовано застосування чисельно-аналітичного методу, запропонованого А. М. Самойленком у 1965 р., до диференціальних рівнянь другого порядку.

Вивчено питання існування та єдиності інваріантних тороїдальних многовидів зчисленних систем лінійних дискретних рівнянь, що визначені на нескінченновимірному торі.

Присвячена дослідженню інтегровних редукцій в моделі Деві - Стюардсона. Введено ієрархію матричних рівнянь Бюргерса. За допомогою методу нелокальних редукцій в лінійних задачах, асоційованих з ієрархією рівнянь Деві - Стюардсона-ІІ, встановлено нетривіальний зв'язок цих рівнянь з системою матричних рівнянь Бюргерса. Записано в явному вигляді редукції моделі Деві - Стюардсона-ІІ, що допускають лінеаризацію.

Встановлені умови асимптотичної стійкості всіх розв'язків рівняння $\frac{{dx}}{{dt}} = A(x)x$, $t ≥ 0$, у банаховому просторі $E$ у випадку $σ(A(x) ⊂ \{λ: Re λ < 0\} ∀x ∈ E$. Наведено приклад рівняння з нестійкими розв'язками.

Вивчається швидкість збіжності рядів Фур'є на класах $L^{\bar {\psi} } \text{N}$ в рівномірній та інтегральній метриках. Результати роботи поширюються на випадок, коли класи $L^{\bar {\psi} } \text{N}$ є класами згорток функцій із $\text{N}$ з ядрами, коефіцієнти яких є повільно спадними. В цьому напрямі, зокрема, одержані асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень сум Фур'є на множинах $L^{\bar {\psi} } \text{N}$ які є розв'язками задачі Колмогорова - Нікольського, а також знайдено аналог відомої нерівності Лебега.

Знайдено достатні умови існування загального розв'язку типу Коші та умови розв'язності задачі Коші для системи диференціальних рівнянь другого порядку.

Обгрунтовано метод усереднення для систем із запізненням, які в процесі еволюції проходять через резонанси. Одержано оцінку похибки методу, яка явно залежить від малого параметру.

Одержані умови існування та єдиності періодичного розв'язку одного нелінійного різницевого рівняння.

Розглядаються інваріантні множини виг ляду $V(t,x) = 0$, де $V(t,x)$ —функція Ляпунова відповідної детермінованої системи.