Том 70, № 2, 2018

Приведено применение многочленов Фабера к доказательствам некоторых комбинаторных тождеств. Показано, что коэффициенты многочленов Фабера взаимно обратных конформных отображений порождают пару взаимно обратимых соотношений. Доказаны два тождества, которые связывают между собой коэффициенты многочленов Фабера и коэффициенты лорановских разложений соответствующих конформных отображений. Приведены примеры.

Введено та вивчено властивiсть жорсткостi градiєнтного рангу для прикладу групи $\scr G$ промiжного зростання, що була введена першим автором в роботi [Grigorˇcuk R. I. On Burnside’s problem on periodic groups // Funktsional. Anal. i Prilozhen. – 1980. – 14, № 1. – P. 53 – 54]. Показано, що $\scr G$ є нормально $(f, g)$-RG жорсткою, де $f(n) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n)$ та $g(n) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(n))$.

Получены условия существования и асимптотической устойчивости строго положительных кусочно-непрерывных почти периодических решений систем дифференциальных уравнений Лотки – Вольтерра с диффузией и импульсным воздействием.

Вивчається оператор Владимирова диференцiювання дробового порядку $D^{\alpha}_N,\; \alpha > 0,\; N \in Z$, на $p$-адичнiй кулi $B_N = \{ x \in Q_p : | x|_p \leq p^N\}$ . До його вiдомих iнтерпретацiй у термiнах звуження подiбного оператора, визначеного на $Q_p$ та через деякий випадковий процес на $B_N$, ми додаємо iнтерпретацiю у виглядi псевдодиференцiального оператора в термiнах дуальностi Понтрягiна на адитивнiй групi BN. Вивчено функцiю Грiна на $D^{\alpha}_N$ та нелiнiйне рiвняння на $B_N$, що є аналогом класичного рiвняння пористого середовища.

Метод усреднения применен к исследованию задач оптимального управления функционально-дифференциальными уравнениями. Усреднение дает возможность заменить исходную задачу задачей оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что оптимальное управление усредненной задачи является почти оптимальным для точной. Рассмотрены задачи с конечным и бесконечным горизонтами.

Дослiджується границя за параметром у рiвномiрнiй нормi розв’язкiв послiдовностi загальних крайових задач для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь довiльного порядку на скiнченному iнтервалi. Отримано iстотне узагальнення теореми I. Т. Кiгурадзе (1987 р.) щодо таких задач.

Получены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников классов периодических функций одной переменной $W^g_p$ , порожденных интегральными операторами с ядрами $g(x, y)$, принадлежащими классам Никольского – Бесова $B^r_{p,\theta}$. Исследовано также поведение билинейных приближений классов $W^r_{p,\alpha}$ периодических функций многих переменных с ограниченной смешанной производной в пространствах $L_{q_1,q_2}$ для некоторых соотношений между параметрами $r_1, p, q_1, q_2$.

Рассматривается задача о построении асимптотических $\Sigma$ -решений сингулярно возмущенного уравнения Benjamin – Bona – Mahony с переменными коэффициентами. Описан алгоритм построения асимптотических $\Sigma$ -решений, найдены главный и первый члены асимптотического решения, доказаны теоремы о точности, с которой такое асимптотическое решение удовлетворяет рассматриваемому уравнению.

Вивчаються перiодичнi розв’язки для диференцiальних рiвнянь другого порядку з узагальненою примушуючою силою. Аналiтичнi результати для бiфуркацiй отримано та застосовано до вимушених гармонiчних коливань та осцилятора Даффiнга.

Найдены условия существования, а также конструкция наилучшего (в смысле наименьших квадратов) псевдореше- ния матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи.

Це коротке повiдомлення присвячено вивченню диференцiально-геометричної структури та iнтегровностi Лакса – Сато для редукованих небесних рiвнянь типу Шабата, Хiроти та Купершмiдта.